Question

如图所示，宽度为L的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r₁的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r₂的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道．水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场．一根质量为m的金属杆a置于水平轨道上，另一根质量为M的金属杆b由静止开始自左端轨道最高点滑下．当b滑入水平轨道某位置时，a就滑上了右端半圆轨道最高点(b始终运动且a、b未相撞)，并且a在最高点对轨道的压力大小为mg，此过程中通过a的电荷量为q，a、b棒的电阻分别为R₁、R₂，其余部分电阻不计．在b由静止释放到a运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：

(1)在水平轨道上运动时，b的最大加速度是多大？

(2)a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是多大？

(3)自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是多少？

Answer

(1) (2) (3)

【解析】试题分析：b棒从左侧轨道下滑的过程中，只有重力做功，其机械能守恒，求出b进入刚进入水平轨道时的速度大小．进入水平轨道后b棒切割磁感线产生感应电流，a棒由于受到安培力作用向右运动，回路中产生的感应电动势将要减小，感应电流也减小，则知b棒的加速度减小，则b棒刚进入磁场时加速度最大，由牛顿第二定律和安培力公式结合求解．当两棒都在水平轨道上运动时，两棒组成的系统合外力为零，动量守恒，可求出a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度；此过程中通过a的电荷量为q，根据动量定理求出b棒后来的速度．对a棒：由牛顿运动定律求出通过最高点时的速度，由机械能守恒定律求出离开磁场时的速度．由能量守恒定律即可求解系统产生的焦耳热．

（1）由机械能守恒定律得：

解得：

b刚滑到水平轨道时加速度最大，有

根据：E＝BLvb1

由牛顿第二定律有F安＝BIL＝Ma

解得

(2)a由最低点到最高点，由能量守恒定律，有

解得：

由a刚开始运动至到达半圆轨道最低点，由动量守恒定律有

Mvb1＝Mvb3＋mva2

解得

(3)由动量定理有－BILt＝Mvb2－Mvb1

即－BLq＝Mvb2－Mvb1

解得

a在半圆轨道最高点，有

根据牛顿第三定律得N＝N′＝mg

解得

从b释放至a到达右端半圆轨道最高点过程中，

由能量守恒定律，有

解得:

点睛：本题是“双杆”类型，两棒都在水平轨道上运动的过程类似于碰撞，基本规律是动量守恒和能量守恒，本题综合性较强。