Question

如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与之间的夹角θ为45°。已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为。（计算结果可带根号）

（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω₀；

（2）若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的最大值.

Answer

（1） （2）

【解析】（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，如图所示：

有：

则： 。

（2）当时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，设此最大角速度为，受力如图所示：

根据牛顿第二定律： ，

联立以上方程式可以得到： 。

点睛：解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解。