Question

如图甲，PNQ为竖直放置的半径为0．1 m的半圆形轨道，在轨道的最低点P和最高点Q各安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧通过这两点时对轨道的压力F_P和F_Q．轨道的下端与一光滑水平轨道相切，水平轨道上有一质量为0．06 kg的小球A，以不同的初速度v₀与静止在轨道最低点P处稍右侧的另一质量为0．04 kg的小球B发生碰撞，碰后形成一整体（记为小球C）以共同速度v冲入PNQ轨道．（A、B、C三小球均可视为质点，g取10 m/s²）

（1）若F_P和F_Q的关系图线如图乙所示，求：当F_P＝13 N时所对应的入射小球A的初速度v₀为多大？

（2）当F_P＝13 N时，AB所组成的系统从A球开始向左运动到整体达到轨道最高点Q全过程中所损失的总机械能为多少？

（3）若轨道PNQ光滑，小球C均能通过Q点．试推导F_P随F_Q变化的关系式，并在图丙中画出其图线．

Answer

（1） m/s；（2）0．6 J ；（3）FQ＝FP－6（N），图像见解析。

【解析】

试题分析：（1）设A球的质量为M，B球的质量为m，由牛顿第三定律可知，小球在P、Q两点所受轨道的弹力大小NP＝FP；NQ＝FQ ①

在P点由牛顿第二定律得： NP－（M＋m）g＝（M＋m） ②

解得vP＝2 m/s

AB相碰，Mv0＝（M＋m）vP ③

解得v0＝ m/s

（2）AB相碰所损失的机械能ΔE1＝Mv－（M＋m）v＝0．4 J ④

球C在Q点由牛顿第二定律得：NQ＋（M＋m）g＝（M＋m） ⑤

球C从P运动至Q的过程，由动能定理得：

Wf－（M＋m）g2R＝（M＋m）v－（M＋m）v ⑥

联立并代入数据解得Wf＝－0．2 J

故球C上升过程中所损失的机械能ΔE2＝0．2 J

故整个系统在全过程中所损失的机械能ΔE＝ΔE1＋ΔE2＝0．6 J ⑦

（3）因轨道光滑，小球C由P至Q的过程中机械能守恒

（M＋m）v＝（M＋m）v＋（M＋m）g·2R ⑧

联立①②⑤⑧得NP－NQ＝6（M＋m）g

即FQ＝FP－6（N）

考点：牛顿第二定律 、动量守恒定律、动能定理、能量转化与守恒定律

【名师点睛】已知小球在P、Q两点所受轨道的弹力，根据牛顿第二定律由向心力公式可求P点的速度，再根据动量守恒定律求出小球A的初速度。整个系统在全过程中所损失的机械能包括碰撞损失能量和摩擦力做功损失能量，根据动量守恒定律和能量转化与守恒定律求出由于碰撞损失能量；从P运动至Q的过程，由动能定理得可求出由于摩擦力做功损失能量。轨道光滑时，根据机械能守恒和牛顿第二定律得出P、Q两点弹力的关系。