Question

如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m，圆弧形轨道AEPD和BQC均光滑，BQC的半径为r=1m，AEPD的半径R=2m，DE是其竖直直径，O₁、O₂分别为两部分圆弧轨道的圆心，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁Ｂ与竖直方向的夹角均为θ=37°．现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上，以的初动能从B点开始沿BA向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g=10m/s²,sin37°=0．6，cos37°=0．8）求：

（1）要使小球第一次上滑过程恰能过圆弧形轨道AEPD最高点E点，初动能为多大；

（2）在满足第（1）问的情况下小球第二次到达D点时的动能；

（3）在满足第（1）问的情况下小球在CD段上运动的总路程．

Answer

（1）Ek0=48J （2）EkD=12．6J （3）

【解析】

试题分析：（1）若要使小球能够通过圆弧APD的最高点，因小球是穿在杆上，则到达最高点时速度可以为0．

由能量守恒得：Ek0=mgR（1-cosθ）+mgLsinθ+μmgLcosθ

代入数据解得：Ek0=48J．

（2）当小球第一次回到B点时的动能为：EkB=mg2R-mgr（1+cosθ）-μmgL=12J

小球沿AB向上运动到最高点，距离B点为s，则有：EkB=mgscosθ+mgssinθ

代入解得：

小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时的动能为EkD=mgr（1+cosθ）+mgssinθ-μmgscosθ-μmgL=12．6J

（3）小球第二次到达D点后还剩12．6J的能量，

由于mg2R=40J，故沿DP弧上升后再返回DC段．

由于μmgL=10J，到C点小球只剩下2．6J的能量．

而mgr（1+cosθ）=18J，因此小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点．

由动能定理：

可得小球在CD上所通过的路程为：

小球通过CD段的总路程为：

考点：考查动能定理的应用；牛顿第二定律；向心力；能量守恒定律．

【名师点睛】本题过程较复杂，关键是理清过程，搞清运动规律，合适地选择研究的过程，运用动能定理和能量守恒定律进行解题．