Question

如图所示，让小球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好从与小球拴接处被拉断，并立即撤去摆线，小球在粗糙的水平面上由D点向D做匀减速运动，到达小孔A进入半径R=0.3m的竖直放置的光滑竖直圆弧轨道，当小球进入圆轨道立即关闭A孔，已知摆线长L=2m，θ=60°，小球质量为m=0.5kg，小球与粗糙水平面动摩擦因数μ=，g取10m/s²．求：

（1）小球摆到最低点时的速度以及小球在最低点时对绳子的拉力；

（2）要使小摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面DA长度s的范围．

Answer

（1）小球摆到最低点时的速度是2m/s，小球在最低点时对绳子的拉力是10N；

（2）要使小摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，粗糙水平面DA长度s的范围5.6m≤S≤8m或者s≤2m

【解析】

试题分析：（1）摆球摆到D点时，摆线的拉力最大，根据机械能守恒定律求出摆球摆到D点时速度，由牛顿第二定律求出摆线的最大拉力．

（2）要使摆球能进入圆轨道，并且不脱离轨道，有两种情况：一种在圆心以下做等幅摆动；另一种能通过圆轨道做完整的圆周运动．

小球要刚好运动到A点，对小球从D到A的过程，运用动能定理求出动摩擦因数μ的最大值；

若小球进入A孔的速度较小，并且不脱离轨道，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道，其临界情况为到达圆心等高处速度为零，根据机械能守恒和动能定理求出s．

要使摆球能进入圆轨道，恰好到达轨道的最高点，就刚好不脱离轨道，在最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出此时小球的速度，对从D到轨道最高点的过程，运用动能定理求解s的最小值，即可得到s的范围

解析：（1）对CD段应用动能定理，得：

mg（L﹣Lcosθ）=

代入数据解得：vD=2m/s

在最低点有：T﹣mg=m

解得：T=10N

由作用力与反作用力的关系可知：小球在最低点对绳子的拉力为10N．

（2）小球不脱圆轨道分两种情况：

①要保证小球能达到A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，由动能定理可得：

﹣μmgs1=0﹣

代入数据可得：s1=8 m

若进入A孔的速度较小，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道．其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由机械能守恒可得：

mgR=

由动能定理可得：﹣μmgs2=﹣

代入数据可求得：s2=5.6 m

②小球运动到光滑竖直圆弧轨道最高点时，有：mg=m，

代入数据得：v=m/s

由动能定理得：2mgR=﹣

代入数据解得：小球在A点时的速度为：vA=m/s

对DA段应用动能定理，有：﹣μmgs3=﹣

代入数据解得：s3=2 m

综上，粗糙水平面DA长度s的范围5.6m≤S≤8m或者s≤2m．

答：（1）小球摆到最低点时的速度是2m/s，小球在最低点时对绳子的拉力是10N；

（2）要使小摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，粗糙水平面DA长度s的范围5.6m≤S≤8m或者s≤2m．