Question

如图所示，质量为M倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为3L/4时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。

（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；

（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

（3）求弹簧的最大伸长量；

（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？

Answer

（1）

（2）见解答；

（3）

（4）

【解析】

试题分析：（1）物体平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据平衡条件，有：mgsinα=k•△x

解得：

故弹簧的长度为；

（2）物体到达平衡位置下方x位置时，弹力为：k（x+△x）=k（x+）；

故合力为：F=mgsinα-k（x+）=-kx；故物体做简谐运动；

（3）简谐运动具有对称性，压缩弹簧使其长度为l时将物块由静止开始释放，故其振幅为：；

故其最大伸长量为：；

（4）物块位移x为正时，斜面体受重力、支持力、压力、弹簧的拉力、静摩擦力，如图

根据平衡条件，有：

水平方向：f+FN1sinα-Fcosα=0

竖直方向：FN2-Mg-FN1cosα-Fsinα=0

又有：F=k（x+△x），FN1=mgcosα

联立可得：f=kxcosα，FN2=Mg+mg+kxsinα

为使斜面体保持静止，结合牛顿第三定律，应该有|f|≤μFN2，所以

当x=-A时，上式右端达到最大值，于是有：

考点：简谐振动；物体的平衡；牛顿第二定律的应用

【名师点睛】本题关键是先对滑块受力分析，然后根据牛顿第二定律列式分析；最后对斜面体受力分析，确定动摩擦因素的最小值，难题。