Question

如图所示，是一儿童游戏机的简化示意图。光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与长度为8R的AB直管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），管道底端A位于斜面底端，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P。经过观察发现：轻弹簧无弹珠时，其上端离B点距离为5R，将一质量为m的弹珠Q投入AB管内，设法使其自由静止，测得此时弹簧弹性势能，已知弹簧劲度系数。某次缓慢下拉手柄P使弹簧压缩，后释放手柄，弹珠Q经C点被射出，弹珠最后击中斜面底边上的某位置（图中未标出），根据击中位置的情况可以获得不同的奖励。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠可视为质点。直管AB粗细不计。求：

（1）调整手柄P的下拉距离，可以使弹珠Q经BC轨道上的C点射出，落在斜面底边上的不同位置，其中与A的最近距离是多少？

（2）若弹珠Q落在斜面底边上离A的距离为10R，求它在这次运动中经过C点时对轨道的压力为多大？

（3）在（2）的运动过程中，弹珠Q离开弹簧前的最大速度是多少?

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】

试题分析：（1）当P离A点最近（设最近距离为d）时，弹珠经C点速度最小，设这一速度为Vo，弹珠经过C点时恰好对轨道无压力，mgsinθ提供所需要的向心力．

所以：

得：

8R+R=

得到的

,

（2）设击中P1点的弹珠在经过C点时的速度为Vc，离开C点后弹珠做类平抛运动：

a=gsinθ

10R-R＝

又在（1）中得到：

经C点时：

所以，

根据牛顿第三定律：弹珠Q对C点的压力N与FN大小相等方向相反

所以，弹珠Q对C点的压力N＝

（3）弹珠离开弹簧前，在平衡位置时，速度最大

设此时弹簧压缩量为，根据平衡条件：mgsin 则：

取弹珠从平衡位置到C点的运动过程为研究过程，根据系统机械能守恒：取平衡位置重力势能为零

考点：机械能守恒定律；牛顿第二定律；胡克定律

【名师点睛】此题是力学综合题目，考查了机械能守恒定律、牛顿定律及胡克定律等知识点；解题时关键是分析物理过程，搞清物体的运动特征，根据相应的规律列出方程求解；此题较难，意在考查学生的综合分析能力．