Question

如图所示，某货场需将质量m₁＝50kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用光滑倾斜轨道SP、竖直面内弧形光滑轨道PQ，使货物由倾斜轨道顶端距底端高度h=1m处无初速度滑下．两轨道相切于P, 倾斜轨道与水平面夹角为θ=60⁰, 弧形轨道半径R＝2m，末端切线水平．地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A、B，长度均为l＝4m，质量均为m₂＝50kg，木板上表面与弧形轨道末端Q相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ₁，木板与地面间的动摩擦因数μ₂＝0．12．（不考虑货物与各轨道相接处能量损失,最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g＝10m/s²）

（1）求货物到达弧形轨道始、末端时对轨道的压力．

（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件．

（3）若μ₁＝0．30，求货物滑上木板后与木板系统所能产生的热量．

Answer

（1）750N和1500N，方向竖直向下；

（2）0．24＜μ1≤0．36；

（3）J≈933．3J

【解析】

试题分析：（1）设货物滑到弧形轨道始、末端时的速度分别为vP、vQ，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得：……………①

………………②

设货物滑到弧形轨道始、末端所受支持力的大小分别为NP、NQ，根据牛顿第二定律得:…………………③

…………………………④

联立以上各式并代入数据得NP＝750N NQ=1500N

根据牛顿第三定律，货物到达圆轨道始、末端时对轨道的压力大小分别为750N和1500N，方向竖直向下．…………………………⑤

（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得： μ1m1g≤μ2（m1＋2m2）g ……………………⑥

若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得：μ1m1g＞μ2（m1＋m2）g ………⑦

联立并代入数据得0．24＜μ1≤0．36．…………………………………………⑧

（3）μ1＝0．3，由上问可得，货物在木板A上滑动时，木板不动，设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得μ1m1g＝m1a1 ……………………⑨

设货物滑到木板A末端时的速度为v1，由运动学公式得：v－＝－2a1l ………⑩

联立并代入数据得v1＝4m/s ………………⑾

货物滑过木板A系统产生的热量Q1=μ1m1gl=600J……………………⑿

设货物滑上木板B经过时间t,货物与木板B达到共同速度v2,木板B的加速度为a2,由运动学公式和牛顿第二定律,有:v2=a2t……………………⒀

v2= v1－a1t……………………⒁

μ1m1g－（m1＋m2）g=m2a2………………………………⒂

木板运动位移x2=………………⒃

货物运动位移x1=………………⒄

货物相对木板B位移=x1－x2

联立以上各式并代入数据得:m…………………⒅

＜l=4m,可见:货物与木板B达共同速度后,由于μ1＞μ2,故两者整体在水平面做匀减速运动直至停止,

货物与木板B系统产生的热量Q2=μ1m1g=J………………………⒆

∴货物滑上木板系统所产生的热量Q=Q1+Q2=J≈933．3J……………⒇

考点：牛顿定律的综合应用

【名师点睛】本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，解题时要搞清物体运动的物理过程，认真分析受力情况，正确选择合适的物理规律列出方程，同时要抓住临界情况，找到物体之间的位移及速度关联关系．