Question

如图是阿毛同学的漫画中出现的装置，描述了一个“吃货”用来做“糖炒栗子”的“萌”事儿：将板栗在地面小平台上Q处以一定的初速，经过位于竖直面内的两个四分之一圆弧衔接而成的轨道，从最高点P飞出进入炒锅内，利用来回运动使其均匀受热．我们用质量为m的小滑块代替栗子，借这套装置来研究一些物理问题．设大小两个四分之一圆弧的半径分别为2R和R，小平台和圆弧均光滑．将过锅底的纵截面看作是两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧BC组成，滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25，且不随温度变化．两斜面倾角均为θ=37°，AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小挡板，锅底位于圆弧形轨道所在的竖直平面内，碰撞不损失机械能．滑块始终在同一个竖直平面内运动，重力加速度为g．

（1）如果滑块恰好能经P点飞出，为了使滑块恰好沿AB斜面进入锅内，应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为多少？

（2）接（1）问，试通过计算分析滑块在锅内的运动过程．

（3）对滑块的不同初速度，求其通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值．

Answer

（1）R．

（2）滑块不会滑到A而飞出，最终在BC间来回滑动．

（3）9mg

【解析】

试题分析：（1）根据牛顿第二定律求出滑块恰好到达P点的速度，根据速度方向与斜面AB平行，结合平抛运动的规律，运用平行四边形定则求出竖直分速度，从而得出AD离地的高度．

（2）根据平行四边形定则求出进入A点时滑块的速度，假设经过一个来回能够回到A点，运用动能定理，求出回来时动能，再分析运动过程．

（3）根据牛顿第二定律分别求出P、Q的弹力，结合机械能守恒定律得出压力差，结合最高点的最小速度求出压力之差的最小值．

【解析】
（1）滑块恰好能经P点飞出，则在P点有：

mg=m

得：vP=

滑块恰好沿AB斜面进入锅内，则滑块到达A点时速度方向要沿着AB方向，则有：

vy=vPtanθ=

所以AD离地高度为：h=3R﹣=R

（2）进入A点滑块的速度为：v==

假设经过一个来回能够回到A点，设回来时动能为Ek，则得：

Ek=mv2﹣μmgcosθ8R＜0

所以滑块不会滑到A而飞出，最终在BC间来回滑动．

（3）设初速度、最高点速度分别为v1、v2，根据牛顿第二定律，在Q点，有：

F1﹣mg=m

在P点，有：F2+mg=m

所以有：F1﹣F2=2mg+m（﹣）

由机械能守恒得：m=mv22+mg•3R

解得：﹣v22=6gR，为定值，代入v2的最小值，得压力差的最小值为9mg．

答：（1）斜面的A、D点离地高为R．

（2）滑块不会滑到A而飞出，最终在BC间来回滑动．

（3）通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值为9mg．

【点评】本题关键要理清小球的运动情况，把握P点的临界条件，明确两个状态之间的关系：符合机械能守恒．运用平抛运动、动能定理及机械能守恒、牛顿运动定律等基本规律处理．