Question

如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=3m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧轨道的半径为R=0.5m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=53°，不计空气阻力，取重力加速度为g=10m/s²．求：

（1）AC两点的高度差；

（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；

（3）要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．（sin53°=0.8，cos53°=0.6）

Answer

（1）0.8m．

（2）68N．

（3）3.625m

【解析】

试题分析：（1）小球从A点抛出做平抛运动，将C点的速度进行分解，求出竖直分速度的大小，从而根据竖直方向上的运动规律求出AC两点的高度差．

（2）求出C点的速度，对C到D运用动能定理求出到达D点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对轨道的压力．

（3）当小物块刚好不从长木板滑出时，与木板具有相同的速度，根据牛顿第二定律和运动学公式求出共同的速度，因为摩擦力与相对路程的乘积等于产生的热量，结合能量守恒定律求出木板的长度．

【解析】
（1）小物块在C点速度大小为：vC==5 m/s，

竖直分量：vCy=4 m/s

下落高度：h==0.8m

（2）小物块由C到D的过程中，由动能定理得：

mgR（1﹣cos 53°）=

解得：vD=m/s

小球在D点时由牛顿第二定律得：FN﹣mg=m

代入数据解得：FN=68N

由牛顿第三定律得FN′=FN=68N，方向竖直向下

（3）设小物块刚滑到木板左端达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为：

a1=μg=3 m/s2，a2==1 m/s2

速度分别为：v=vD﹣a1t，v=a2t

对物块和木板系统，由能量守恒定律得：

μmgL=mvD2﹣（m+M） v2

解得：L=3.625 m，即木板的长度至少是3.625 m

答：（1）AC两点的高度差为0.8m．

（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为68N．

（3）木板的最小长度为3.625m．

【点评】本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律等知识，综合性较强，关键理清物块的运动过程，选择合适的规律进行求解．