Question

如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径．两圆之间的环形区域（Ⅰ区）和小圆内部（Ⅱ区）均存在垂直圆面向里的匀强磁场．间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上级板开有一小孔．一质量为m，电量为+q的粒子由小孔下方处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧靠大圆内侧射入磁场．不计粒子的重力．

（1）求极板间电场强度的大小；

（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；

（3）若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为、，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子运动的路程．

Answer

（1）；

（2）或；

（3）5.5πD

【解析】

试题分析：（1）带电粒子在电场中做加速运动；根据动能定理可求得电场强度的大小；

（2）明确两种可能的相切情况，即可求得半径；根据洛仑兹充当向心力求解磁感应强度；

（3）分析粒子在磁场中的运动，根据运动周期明确经过的圆心角，再由圆的性质明确对应的路程．

【解析】
（1）设极板间电场强度大小为E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理可得：

qE=mv2

解得：E=

（2）设I区内磁感应强大小为B，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得：

qvB=m

如图甲所示，粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系可得：

R=；

解得：B=；

若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得：

R=；

解得：B=

（3）设粒子在I区和II区做圆周运动的半径分别为R1、R2，由题意可知，I区和II内的磁感应强度大小分别为B1=；B2=；由牛顿第二定律可得：

qvB1=m，qvB2=m

代入解得：R1=，R2=；

设粒子在I区和II区做圆周运动的周期分别为T1、T2，由运动学公式得：

T1=，T2=

由题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔的运动轨迹如图乙所示，由对称性可知，I区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ1，II区内所对圆心角设为θ2，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角为α，由几何关系可得：

θ1=120°

θ2=180°

α=60°

粒子重复上述交替运动到H点，设粒子I区和II区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得：

t1=×T1，t2=×T2

设粒子运动的路程为s，由运动学公式可得s=v（t1+t2）

联立解得：s=5.5πD

答：（1）极板间电场强度的大小；

（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，Ⅰ区磁感应强度的大小或；

（3）若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为、，粒子运动一段时间后再次经过H点，这段时间粒子运动的路程5.5πD．

【点评】本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动，要注意明确洛仑兹力充当向心力的应用，同时要注意分析可能的运动过程，特别是具有对称性的性质要注意把握．