Question

在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图1所示形状，相应的曲线方程为y=5.0cos（kx+）（单位：m），式中k=m^﹣1，杆足够长，图中只画出了一部分．将一质量为m=1.0kg的小环（可视为质点）套在杆上，取g=10m/s2．

（1）若使小环以v₁=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，求小环运动到x=（m）处时的速度的大小；

（2）在第（1）问的情况下，求小环在杆上运动区域的x坐标范围；

（3）一般的曲线运动可以分成许多小段，每一小段都可以看成圆周的一部分，即把整条曲线用系列不同的小圆弧代替，如图2所示，曲线上A点的曲率圆的定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点做一圆，在极限的情况下，这个圆叫做A点的曲率圆．其半径ρ叫做A点的曲率半径．若小环从x=0处以v₂=5m/s的速度出发沿杆向下运动，到达轨道最低点P时杆对小环的弹力大小为70N，求小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力．

Answer

（1）若使小环以v1=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，小环运动到x=（m）处时的速度的大小5m/s；

（2）在第（1）问的情况下，小环在杆上运动区域的x坐标范围﹣≤x≤5π；

（3）小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力为10N，方向竖直向下．

【解析】

试题分析：（1）先据曲线方程y=5.0cos（kx+）m求出小环运动到x=（m）时的高度，再据机械能守恒求出该点的速度．

（2）据机械能守恒求出小环运动的最高点，再据曲线方程求出小环在赶上的运动区域即可．

（3）先据机械能守恒和牛顿运动定律求出再低点的曲率半径，再利用机械能守恒和牛顿运动定律求出最高点时与杆的作用力

【解析】
（1）据曲线方程y=5.0cos（kx+）m可知，当x=0时，y=﹣2.5m；当x=（m）时，y=﹣5m．

由x=0时到x=（m）为研究过程，由机械能守恒定律得：

=﹣mg（5﹣2.5）+mv2；

代入数据解得：v=5m/s

（2）分析可知，小环在曲线上运动机械能守恒，当运动到最高点是速率为零，据机械能守恒定律得：

+mg（﹣2.5）=mgh，[h为最高点到x轴的距离]…①

据曲线方程：h=5.0cos（kx+）…②

联立①②解得：x=5π，所以﹣≤x≤5π；

（3）由小环从x=0处到最低点为研究对象，据机械能守恒定律得：

+mg（﹣2.5）=﹣5mg，（v3为最低点的速度）…③

在最低点，据牛顿第二定律得：

F﹣mg=m，（F为最低点时轨道对小环的弹力）…④

由小环x=0到最高点为研究对象，据机械能守恒定律：

+mg（﹣2.5）=5mg+（v4为最高点的速度）…⑤

在最高点，据牛顿第二定律得：

mg﹣F2=m，（F2为最高点时，小环与轨道的弹力）…④

联立③④⑤⑥解得：F2=﹣10N，负号表示方向竖直向下

答：

（1）若使小环以v1=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，小环运动到x=（m）处时的速度的大小5m/s；

（2）在第（1）问的情况下，小环在杆上运动区域的x坐标范围﹣≤x≤5π；

（3）小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力为10N，方向竖直向下．

【点评】本题和数学的上的方程结合起来，根据方程来确定物体的位置，从而利用机械能守恒和牛顿第二定律来解题．