Question

如图甲所示，在y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示；与x轴平行的虚线MN下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度E=×10³N/C．在y轴上放置一足够大的挡板．t=0时刻，一个带正电粒子从P点以v=2×10⁴m/s的速度沿+x方向射入磁场．已知电场边界MN到x轴的距离为m，P点到坐标原点O的距离为1.1m，粒子的比荷=10⁶C/kg，不计粒子的重力．求粒子：

（1）在磁场中运动时距x轴的最大距离；

（2）连续两次通过电场边界MN所需的时间；

（3）最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离．

Answer

（1）在磁场中运动时距x轴的最大距离为0.4m；

（2）连续两次通过电场边界MN所需的时间可能为s或4π×10﹣5s

（3）最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离为0.37m．

【解析】

试题分析：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力充当向心力可求得半径，再由几何关系可求得离x轴的最大距离；

（2）由周期公式求出粒子的周期；根据磁场的变化周期可明确带电粒子在磁场中的运动情况，同时明确粒子在电场中的运动；根据牛顿运动定律可求得在电场中运动的时间；从而得出粒子在磁场中可能的运动情况；从而求出对应的时间；

（3）分析粒子的运动过程，根据几何关系可求出J点到O点的距离．

【解析】
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有：

解得半径为：R=0.2m

粒子在磁场中运动时，到x轴的最大距离为：ym=2R=0.4m

（2）如答图甲所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为：s

由磁场变化规律可知，它在0﹣s（即0﹣）时间内做匀速圆周运动至A点，接着沿﹣y方向做匀速直线运动直至电场边界C点，用时为：

进入电场后做匀减速运动至D点，由牛顿定律得粒子的加速度为：

粒子从C点减速至D再反向加速至C所需的时间为：

接下来，粒子沿+y轴方向匀速运动至A所需时间仍为t2，磁场刚好恢复，粒子将在洛伦兹力的作用下从A做匀速圆周运动，再经s时间，粒子将运动到F点，此后将重复前面的运动过程．所以粒子连续通过电场边界MN有两种可能：

第一种可能是，由C点先沿﹣y方向到D再返回经过C，所需时间为：

t=t3=

第二种可能是，由C点先沿+y方向运动至A点开始做匀速圆周运动一圈半后，从G点沿﹣y方向做匀速直线运动至MN，

所需时间为：s

（3）由上问可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向﹣x方向平移2R（即答图甲中所示从P点移到F点），

，故粒子打在挡板前的一次运动如答图乙所示，其中I是粒子开始做圆周运动的起点，J是粒子打在挡板上的位置，

K是最后一段圆周运动的圆心，Q是I点与K点连线与y轴的交点．

由题意知：

，则有：

J点到O的距离为：

答：（1）在磁场中运动时距x轴的最大距离为0.4m；

（2）连续两次通过电场边界MN所需的时间可能为s或4π×10﹣5s

（3）最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离为0.37m．

【点评】本题考查了小球在复合场中的运动，分析清楚小球的运动过程，应用小球最圆周运动的周期公式与半径公式、牛顿第二定律等内容进行分析求解；分析运动的全过程是解题的关键；对学生分析能力、综合能力和应用数学能力要求较高．