Question

如图所示，粗糙的水平面连接一个竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R=0.1m，半圆形轨道的底端放置一个质量为m=0.1kg的小球B，水平面上有一个质量为M=0.3kg的小球A以初速度v₀=4.0m/s开始向着木块B滑动，经过时间t=0.80s与B发生弹性碰撞．设两小球均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且已知木块A与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，求：

（1）两小球碰前A的速度；

（2）小球B运动到最高点C时对轨道的压力；

（3）确定小球A所停的位置距圆轨道最低点的距离．

Answer

（1）2m/s；

（2）4N；

（3）0.2m．

【解析】

试题分析：（1）对A应用动量定理求解；

（2）AB碰撞过程动量守恒，机械能守恒，列方程组求碰后A的速度和B的速度，对B在轨道上运动过程机械能守恒求B球到达C点时的速度，然后根据牛顿第二定律求解球B受到的压力；

（3）先判断A是能到达最高点后飞出还是到达不了沿原路返回，然后求解．

【解析】
（1）碰前对A由动量定理有：﹣μMgt=MvA﹣Mv0

解得：vA=2m/s

（2）对A、B：碰撞前后动量守恒：MvA=MvA′+mvB

碰撞前后动能保持不变：MvA2=MvA′2+mvB2

由以上各式解得：vA′=1m/s vB=3 m/s

又因为B球在轨道上机械能守恒：mvB′2+2mgR=mvB2

解得：vc=m/s

在最高点C对小球B有：mg+FN=m

解得：FN=4N

由牛顿第三定律知：小球对轨道的压力的大小为4N，方向竖直向上．

（3）对A沿圆轨道运动时：MvA′2＜MgR

因此A沿圆轨道运动到最高点后又原路返回到最低点，此时A的速度大小为1m/s．

由动能定理得：﹣μMgs=0﹣MvA′2

解得：s=0.2m

答：（1）两小球碰前A的速度为2m/s；

（2）小球B运动到最高点C时对轨道的压力为4N；

（3）两小球距圆轨道最低点的距离为0.2m．

【点评】本题考查了圆周运动与能量守恒定律的综合运用问题，是力学典型的模型，也可以用动能定理结合牛顿第二定律求解．