Question

已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）直线l与曲线C是否有公共点？并说明理由；

（2）若直线l与两坐标轴的交点为A，B，点P是曲线C上的一点，求△PAB的面积的最大值．

Answer

（1）没有交点，理由见详解；（2）3．

【解析】

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为直角方程，联立方程组，根据的情况，求得两曲线的相交情况；

（2）由（1）中所求，容易得点的坐标，设点坐标为（3cosθ,sinθ），再将问题转化为三角函数值域的问题即可求得.

（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），

转换为直角坐标方程为．

直线l的极坐标方程为，

整理得，

转换为直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0，

联立方程组

消去，可得10y2+12y+27＝0，

由于△＝122﹣4×10×27＜0，所以直线与椭圆没有交点．

（2）直线的直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0，

与x轴的交点A（6，0）与y轴的交点坐标为B（0，6），

所以|AB|，

设椭圆上点P的坐标为（3cosθ，sinθ），

所以点P到直线l的距离d

，

当时，，

则3．