Question

已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l₂：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l₁：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）x2＝4y；（2）存在N（0,1）

【解析】

（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到，从而求得抛物线方程；

（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及之间的等量关系，再求出点的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.

（1）由题意，，

所以p＝2，

∴抛物线C的方程为：x2＝4y；

（2）由得x2﹣4kx﹣4m＝0（*），

由直线y＝kx+m与抛物线C只有一个公共点，

可得，解得m＝﹣k2，代入到（*）式得x＝2k，

∴P（2k,k2），

当y＝﹣1时，代入到y＝kx﹣k2

得Q（），

∴以PQ为直径的圆的方程为：

，

整理得：，

若圆恒过定点，则，

解得，

∴存在点N（0,1），使得以PQ为直径的圆恒过点N．