Question

如图,在四棱锥中,平面,是平行四边形,,交于点是上一点.

（1）求证:;

（2）已知二面角的余弦值为,若为的中点,求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）将求证,转换为求证平面,即可求得答案;

（2）连,在中,所以平面分别以,,为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,求得与平面法向量的夹角的余弦值,即可求得答案.

（1） 平面,

,

又四边形为菱形,

,又,

平面,平面PBD,

.

（2）连,在中,如图:

平面

分别以,,为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.

设,则,,,,.

由（1）知,平面的一个法向量为,

设平面的一个法向量为,

,即,

令,则,

二面角的余弦值为,

,

,

设与平面所成角为,

,,

.