Question

已知函数（a为常数）的最大值为0.

（1）求实数a的值；

（2）设函数，当时，求证：函数有两个不同的零点，（），且.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

(1)求出导数，分与两种情况讨论函数的单调性与最大值，列出方程求解即可；(2)求出函数的一阶导数与二阶导数，由二阶导数的符号判断一阶导数的单调性，再由一阶导数的符号判断的单调性，因为，，可得函数有两个不同的零点，，即可得解.

【解析】
（1）函数的定义域为：，

当时，，则函数在上单调递增，无最大值；

当时，令，即，解得，

所以函数在上单调递增，上单调递减，

，易知函数与函数的图像相交于点，所以方程的解为；

（2）

当时，则在上单调递增，

又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以函数有两个不同的零点，，

故.