Question

已过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，以，两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于点.

（1）当直线平行于轴时，求点的坐标；

（2）当时，求直线的方程.

Answer

（1），（2）

【解析】

（1）依题的方程为，联立抛物线方程可得，，利用导数求出

在，处的切线，再联立切线方程即可求出点坐标.

（2）设的方程为，，，利用切线方程联系即可求出.

法一：根据弦长公式可得，， ，再根据，将代入即可求出结果.

法二：依题：，化简可得，结合，进而求出结果.得

（1）依题可知，当直线平行于轴时，则的方程为，

所以可得，，又；

所以在，处的切线分别为：，，即，，

联立两切线可得，所以.

（2）设的方程为，，，

则联立有，所以，

在处的切线为：，

同理可得，在处切线：，

联立有：，即点.

法一：，

同理可得：，

所以，又因为，

所以解得，所以，得，或，.

所以直线方程为：.

法二：

依题：，

解得，结合得，或，.

所以直线方程为：.