Question

已知椭圆C：.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.

Answer

（1）（2）以为直径的圆经过轴上的定点和,证明见解析

【解析】

（1）先将转化为,根据椭圆的性质得到,即可求出离心率.

（2）根据椭圆方程求出,设,则①,分别求出直线和的方程,再分别与相交于点 和,设以为直径的圆经过轴上的定点,则,即得②,将①代入②得

解得或,得出为直径的圆是过定点和.

【解析】
（1）由得,

那么

所以

解得,所以离心率

（2）由题可知,

设,则①

直线的方程：

令,得,从而点坐标为

直线的方程：

令,得,从而点坐标为

设以为直径的圆经过轴上的定点,则

由得②

由①式得,代入②得

解得或

所以为直径的圆经过轴上的定点和.