Question

将三棱锥与拼接得到如图所示的多面体，其中，，，分别为，，，的中点，.

（1）当点在直线上时，证明：平面；

（2）若与均为面积为的等边三角形，求该多面体体积的最大值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理得出平面平面，再由面面平行的性质得出平面；

（2）将多面体的体积转化为三棱锥与的体积和，由于三棱锥和的底面积一定，则高同时达到最大值时，多面体的体积最大，当平面平面时，由面面垂直的性质得出三棱锥和的高，利用棱锥的体积公式计算即可.

（1）证明：∵、、为中点

∴，

又∵

∴

∵平面，平面

∴平面

同理平面

平面

∴平面平面

∵，∴平面

∴平面

（2）

易知平面

故

连接，当平面平面时

∵是的中点

∴在正三角形、中

，，平面与平面的交线为

平面，平面

∴平面，平面

∴平面

此时，三棱锥和的高同时达到最大值

此时

由，是面积为的正三角形

可得

，

∴此时.

故该多面体体积的最大值为.