Question

义域为的函数满足：对任意实数x,y均有，且，又当时，.

（1）求的值，并证明：当时，；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)答案见解析；(2)或.

【解析】

试题

(1)利用赋值法计算可得，设，则，

利用拆项：即可证得：当时，；

(2)结合(1)的结论可证得是增函数，据此脱去f符号，原问题转化为在上恒成立，分离参数有：恒成立，结合基本不等式的结论可得实数的取值范围是或.

试题解析：

(1)令，得，

令， 得，

令，得，

设，则，

因为,

所以;

(2)设，

  ,                       

因为所以，

所以为增函数,

所以,

 即,

上式等价于对任意恒成立，

因为，所以

上式等价于对任意恒成立，

设，（时取等），

所以，

解得或.