Question

设集合

（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；

（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；

（3）求：A中各元素之和.

Answer

（1）当时，；当时，；（2）；（3）当时，A中元素之和为；当且时，A中元素之和为；当时，A中元素之和为；当时，A中无元素；

【解析】

集合中元素的个数就是方程的解的个数。（1）当A中元素个数为1时，方程一个解，要考虑二次项系数是否为0，不等于0时，按一元二次方程处理；（2）当A中元素个数至少为1时，方程至少一个解，要考虑二次项系数是否为0，不等于0时，按一元二次方程处理；（3）求A中各元素之和，就是求方程解的和。要考虑二次项系数是否为0，等于0时，可以求根。不等于0时，按一元二次方程处理，要讨论是否有解。

（1） 当A中元素个数为1时，集合中的方程只有一个解。当时，方程变为，方程只有一个解，符合题意，此时 ；当时， ，所以，，此时，； 综上，当时，；当时，。

（2） 当A中元素个数至少为1时，集合中的方程至少有一个解。由（1）知，符合题意；当时，，解得，所以且。综上，a的取值范围为。

（3）由（1）知，当时，集合A中元素之和为，当时，A中元素之和为；由（2）知，当且时，方程有两个根，由韦达定理可得A中元素之和为；当时，，此时，方程无解。综上所述，当时，A中元素之和为；当且时，A中元素之和为；当时，A中元素之和为；当时，A中无元素。