已知函数f（x）＝ex﹣lnx+ax（a∈R）．（1）当a＝﹣e+1时，求函数...

已知函数f（x）＝ex﹣lnx+ax（a∈R）．

（1）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0．

（1）当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增（2）证明见解析【解析】（1）求导得到，根据导数的正负得到函数的单调区间. （2）求导得到判断h（x）在（0，+∞）上单调递增，∃，使函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，代入计算得到证明. （1）f（x）＝ex﹣lnx+（﹣e+1）x；令，得x＝1；当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（2）证明：当a＝﹣1时，f（x）＝ex﹣lnx﹣x（x＞0）；令，则； ∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；又，h（1）＝e﹣2＞0； ∴∃，使得，即； ∴函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增； ∴函数f（x）的最小值为；又函数是单调减函数； ∴f（x0）＞1+1﹣ln1﹣1＝1＞0，即ex﹣lnx﹣x＞0恒成立；又ex＞x＞lnx；∴ex﹣lnx＞0；又a≥﹣1，x＞0；∴ax≥﹣x； ∴f（x）＝ex﹣lnx+ax≥ex﹣lnx﹣x＞0，得证．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：

年龄	28	32	38	42	48	52	58	62
收缩压（单位	114	118	122	127	129	135	140	147

其中：，

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到）

（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？

查看答案

2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件。