Question

2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件。

(1)求函数的解析式；

(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润（单位：百元）最大。

Answer

（1）；（2）当销售价格为3元/件时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【解析】

（1）由题意将（3，10）代入函数解析式，建立方程，即可求出g（x）的解析式；

（2）商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

（1）由题意，102（3-5）2，解得a＝2，故g（x）2（x﹣5）2（2＜x＜5）；

（ 2）商场每日销售该商品所获得的利润为y＝h（x）＝（x﹣2）g（x）＝2+2（x﹣5）2（x﹣2）（2＜x＜5），

y′=4（x-5）(x-2)+ 2（x﹣5）2＝2(3x-9)（x﹣5）．

列表得x，y，y′的变化情况：

x

（2，3）

3

（3，5）

y'

+

0

﹣

y

单调递增

极大值10

单调递减

由上表可得，x＝3是函数h（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点，此时y＝10