Question

已知

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求的范围；

（3）若的两根都在内，求的范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）分别在、、和的情况下，得到函数在上的单调性，进而求得最小值；

（2）将问题转化为恒成立；由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式求得结果；

（3）令可求得两根，根据根所处范围可构造不等式求得结果.

（1）①当时，，在上单调递减

②当时，开口方向向下，对称轴为

在上单调递减

③当时，开口方向向上，对称轴为

若，则 在上单调递减

若，则 在上单调递减，在上单调递增

综上所述：

（2）恒成立等价于恒成立

当时，不恒成立，不合题意

当时，，解得：

综上所述：的取值范围为

（3）令，即

若，方程仅有一个实数根，不合题意；

若，则方程两根为， ，解得：

综上所述：的取值范围为