Question

四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于、的平面分别交四面体的棱、、于点、、．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）求点到面的距离．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

（1）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得到四边形为平行四边形，再由线面垂直的判定和性质得到，结合异面直线所成角的概念得到，从而证得结论；

（2）利用线面平行时，直线上的点到平面的距离是相等的，将点到面的距离转化为点D到面的距离，求解即可.

（1）证明：由,同理可得

所以

由的面，同理可得

所以

所以四边形是平行四边形

由三视图可知，所以,又

所以,所以四边形是矩形

（2）易知点到面的距离即点到面的距离，

由

所以点到面的距离即点到线的距离

由（1）和是的中点可知、分别是、的中点，

又由三视图可知是等腰直角三角形，

易得点到线的距离为，即点到面的距离