Question

已知椭圆的左焦点为，右顶点为，.

（1）求的方程；

（2）过点且与轴不重合的直线与交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，且以为直径的圆过点.

（ⅰ）求的方程；

（ⅱ）记，的面积分别为，，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

【解析】

（1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可；

（2）（ⅰ）设M,N坐标分边为，，直线的方程为，结合椭圆方程可得BM、BN方程，并得出点P、Q坐标的表达式，根据圆过点，故向量，列方程可得m的值；（ⅱ）由（ⅰ），将，的面积，转换为、的表达式，相比可得出的取值范围.

【解析】
（1）依题意得，即，

∴，解得，

∴椭圆的方程为.

（2）（ⅰ）设，，直线的方程为.

由得，

显然，且，，

直线方程为，直线方程为，

令，得，，

∵以为直径的圆过点，∴，

∴

，

∴，解得或（舍去），

∴的方程为.

（ⅱ）由（ⅰ），

，

∴.