Question

求1，2，···，n的排列的个数，使得对正整数k=1，2，···，n成立。

Answer

见解析

【解析】

先考虑n为偶数的情形.设n =2m( m为正整数).对k=1，2,···,2m，由

及为正整数，知

或 ①

注意到，.

故， ②

， ③

其中，的取法是唯一的.

事实上，注意到，两两不等，不断地利用式②，知只能取2m.

进而，只能取2m -1.以此类推得

.

类似地，由式③知的取法也是唯一的.

因此，当n=2m时，符合题意的排列恰有1个.

再考虑n为大于1的奇数的情形.设n =2m +1(m为正整数).类似于偶数的情形知

④

， ⑤

且.

不妨设.

首先，知的取法唯一.

事实上，注意到，两两不等，不断地利用式⑤，知只能取2，只能取3.以此类推知.