Question

如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛 海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛 海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．

（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？

（Ⅱ）现测得， ．已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？

Answer

（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元.

【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，进而得客轮的航行速度，在中，由余弦定理得，分别求出客轮和小张到岛所用的时间，比较即可；

（Ⅱ）根据条件求得，再由正弦定理得， ，求得，进而求得总费用为，利用基本不等式求最值即可.

试题解析：

（Ⅰ）如图，根据题意得：

， ， ， ．

在中，由余弦定理得，

,

所以客轮的航行速度（海里/小时）．

因为，所以，

所以．

在中，由余弦定理得， ，

整理得： ，

解得或（不合舍去）．

所以客轮从处到岛所用的时间小时，

小张到岛所用的时间至少为小时．

由于，

所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.

（Ⅱ）在中， ， ,

所以为锐角， ， ．

所以

.

由正弦定理得， ,

所以,

所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为

()，

当且仅当，即时， （元）.

所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元．