Question

如图，矩形中， ， ，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．

（Ⅰ）求证：当时， ；

（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理求得，进而得，所以有，即，同理可在中，得，进而得平面，从而得证；

（Ⅱ）易证得两两垂直，以为原点， 的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，进而求得面和面的法向量，利用法向量求解即可.

试题解析：

解:（Ⅰ）连结， ．

在矩形中， ,

, ．

在中，∵,

，

∵，

，即．

又在中，

，

∴在中， ,

,

又,

∴平面．

∴．

（Ⅱ）【解析】
在矩形中，过作于，并延长交于. 沿着对角线翻折后，

由（Ⅰ）可知， 两两垂直，

以为原点， 的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则

,

平面,

为平面的一个法向量．

设平面的法向量为

， ,

由得

取则 , ．

即,

．

当时，二面角的大小是．