Question

已知函数.

（1）将函数化成的形式，并求函数的增区间；

（2）若函数满足：对任意都有成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) f(x)＝sin(2x+) ，增区间为[-+kπ, +kπ](k∈Z); (2) m≤2

【解析】试题分析：(1)由二倍角及两角和与差的正弦公式即可得：f(x)＝sin(2x+)，再令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,即可得到函数的增区间；

（2）要使得对任意x∈[0, ]都有f(x)+m≤3成立，即f(x)+m最大值+m≤3,得m≤2.

试题解析：

（1）函数f(x)＝cos(-2x)+sin2x＝coscos2x +sinsin2x+ sin2x

=sin2x+cos2x= (sin2x·+cos2x ·)＝ (sin2xcos+cos2xsin)=sin(2x+)，

-+2kπ≤2x+≤+2kπ, 得：-+kπ≤x≤+kπ，得增区间为[-+kπ, +kπ](k∈Z);

(2) 当x∈[0, ]时，得≤2x+≤，-≤sin(2x+)≤1，-≤sin(2x+)≤，

要使得对任意x∈[0, ]都有f(x)+m≤3成立，即f(x)+m最大值+m≤3,得m≤2.