Question

如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.

（1）证明：平面；

（2）若，求四棱锥的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为底面，所以有，因此欲证平面，只要证，而这一点可通过连结，利用菱形的性质及勾股定理解决.

（2）欲求四棱锥的体积.，必须先求出,连结，设，在利用余弦定理求出，由三个直角三角形，依据勾股定理建立关于的方程即可.

【解析】
（1）如图，因为菱形，为菱形中心，连结，则，因，故

又因为，且，在中

所以，故

又底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面

（2）【解析】
由（1）可知，

设，由底面知，为直角三角形，故

由也是直角三角形，故

连结，在中,

由已知，故为直角三角形，则

即，得，（舍去），即

此时

所以四棱锥的体积