Question

如图，直三棱柱中， ， 是的中点， .

（1）证明： ；

（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）直三棱柱的侧面为矩形，在矩形中，由勾股定理的逆定理证得，再由条件，即可证得平面，从而结论成立；（2）设是平面上方部分的体积， 是平面下方部分的体积，可证平面，由棱锥的体积公式，即可得到，计算三棱柱的体积为，则.

试题解析：（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由为的中点，则，又，可得，则，而， 则平面，由于平面，故；

（2）由（1）知， ，且，则平面，设是平面上方部分的体积， 是平面下方部分的体积则， ，则，故这两部分体积的比为1：1.