Question

已知函数，其中常数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象．区间满足：在上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的中，求的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】（1）因为函数y=f(x)在上单调递增，且，

所以，且，

所以.即的取值范围是.

（2），

将的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到的图象，所以.

令，得或，

所以两个相邻零点之间的距离为或.

若b－a最小，则a和b都是零点，

此时在区间[a，π＋a]，[a,2π＋a]，…，[a，mπ＋a](m∈N*)上分别恰有3,5，…，2m＋1个零点，所以在区间[a,14π＋a]上恰有29个零点，

从而在区间(14π＋a，b]上至少有一个零点，

所以.

另一方面，在区间上恰有30个零点，

因此，b－a的最小值为.