Question

设直线及直线外一点.

（1）写出点到直线的距离公式；

（2）利用向量求证点到直线的距离公式.

Answer

详情见解析

【解析】试题分析：（1）写出平面直角坐标系中，点到直线的距离公式即可；

（2）证明公式时应讨论B=0或A=0以及A≠0，且B≠0时，点到直线l的距离公式是什么，分别求出即可．

试题解析：

(1)平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为

；

(2)证明：设PQ垂直直线l于Q，

当B=0时,直线l为：x=−CA,所以，满足公式；

当A=0时,直线l为：y=−CB,所以，满足公式；

当A≠0，且B≠0时，直线l与x轴、y轴都相交，

过点P作x轴的平行线,交l与点R(x1,y0),作y轴的平行线交l于点S(x0,y2)，

如图所示：

把点R的坐标代入l的方程,求出x1=−By0+CA，

把点S的坐标代入l的方程,求出y2=−Ax0+CB，

所以|PR|=|x0−x1|=|Ax0+By0+CA|，

|PS|=|y0−y2|=|Ax0+By0+CB|，

|RS|= ；

由三角形的面积公式，得d⋅|RS|=|PR|⋅|PS|，

所以d=|PQ|= ；

综上,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为

.