Question

已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为.设过点的直线与椭圆相交于不同两点， 周长为.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知点，证明：当直线变化时，总有TA与的斜率之和为定值．

Answer

（1） （2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；(II) 当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0； 当直线不垂直于轴时，设的方程为 与椭圆方程联立，根据两点间的斜率公式及韦达定理将 用参数 表示，化简消去 即可得结论.

试题解析：（Ⅰ）由已知条件得，所以

椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0；

当直线不垂直于轴时，设的方程为，

与椭圆方程联立得

则， ，其中恒成立。

=

=

因为=

所以

综上：直线与的斜率之和为定值.

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及韦达定理的应用，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.