Question

已知函数 .

（Ⅰ）若，求函数的值域；

（Ⅱ）若对任意的， ，均有 ，求 的取值范围．

Answer

（1） （2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及两角和的正弦公式可将

化为 ，根据三角函数的有界性可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得时的最小值 ，再求出时的最大值，只需 的最小值不小于时的最大值即可得结果.

试题解析：（Ⅰ），

由，

得

（Ⅱ），

当时，，要使恒成立，只需，解得.

当时，，要使恒成立，只需，矛盾.

综上的取值范围是 . .

【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用常见的有四种情况：（1） 只需；（2） ，只需 ；（3）， 只需 ；（4）， ， .