Question

【2017山西三区八校二模】已知函数（其中， 为常数且）在处取得极值．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．

Answer

（Ⅰ）单调递增区间为， ；单调递减区间为; （Ⅱ）或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于， 的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时， 的范围，可得函数的单调区间；

（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．

试题解析：

（Ⅰ）因为，所以，

因为函数在处取得极值，

当时， ， ，

由，得或；由，得，

即函数的单调递增区间为， ；单调递减区间为．

（Ⅱ）因为，

令， ， ，

因为在处取得极值，所以，

当时， 在上单调递增，在上单调递减，

所以在区间上的最大值为，

令，解得，

当， ，

当时， 在上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，

所以最大值1可能的在或处取得，而 ，

所以，解得；

当时， 在区间上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，

所以最大值1可能在或处取得，

而，

所以，

解得，与矛盾．

当时， 在区间上单调递增，在上单调递减，

所最大值1可能在处取得，而，矛盾．

综上所述， 或．