Question

【2017安徽马鞍山二模】已知函数．

（Ⅰ）证明曲线上任意一点处的切线斜率不小于2；

（Ⅱ）设，若有两个极值点，且，证明： ．

Answer

(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)见解析

【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数，只需证明成立即可；（Ⅱ）令， ，可知两根为，结合韦达定理可化简得，研究函数的单调性，可证结论.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以切线斜率，当且仅当时取得等号；

（Ⅱ） ，

，

当时， ，

函数在上递增，无极值．

当时， ，

由得， ，设两根为，则，

其中，

在上递增，在上递减，在上递增，

从而有两个极值点，且，

，

即，

构造函数， ，

所以在上单调递减， 且．故．