Question

【2017安徽淮南二模】随着社会发展，淮北市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段(T≥3 )，从淮北市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：

(I)据此直方图估算交通指数T∈[4，8)时的中位数和平均数；

(II)据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？

(III)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．

Answer

（1）4.72.（2）（3）40.6

【解析】试题分析：(1)由直方图可得，根据中位数的计算公式可求得中位数，利用频率直方图，可计算交通指数的平均数.

(2)设事件为“1条路段严重拥堵”，得，则条路段中至少有条路段严重拥堵的概率.

(3)由题意，得到时间X的分布列，利用期望的公式，即可求解数学期望，得到结论.

试题解析：

(1)由直方图知：T∈[4，8)时交通指数的中位数在T∈[5，6)，且为 5＋1×＝

T∈[4，8)时交通指数的平均数为：

4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72.

(2)设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P(A)＝0.1，

则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：

P＝C32×()2×(1－)＋C33×()3＝，

所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为.

(3)由题意，所用时间X的分布列如下表：

X

30

35

45

60

P

0.1

0.44

0.36

0.1

则E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，

所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．