Question

【2017安徽黄山二模】已知函数. 

（1）若时，讨论函数的单调性；

（2）若，过作切线，已知切线的斜率为，求证： .

Answer

(1)见解析;(2) 见解析.

【解析】(1) 由已知得： . ①若，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. ②若，故的单调递减区间为；③若，当或时， ；当时， ；所以的单调递增区间为；单调递减区间为.

综上，当时， 单调递增区间为；单调递减区间为， .

当时， 的单调递减区间为；当时， 单调递增区间为 ；单调递减区间为,.

(2) ,设切点，斜率为 ① 所以切线方程为 ，将代入得： ② 由 ① 知代入②得：

，令,则恒成立，

在单增，且， ，令，则，则

在递减，且.