Question

【2017河北石家庄冲刺】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，证明： .

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】（Ⅰ）．

①当时， ，则函数为R上的单调递增函数．

②当时，令，则．

若，则， 在上是单调减函数；

若，则， 在上是单调增函数.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，不妨设，

由两式相减得．

要证，即证，

也就是证，

即，即证，

又，只要证（*）．

令，则（*）式化为 ，

设（），，所以在上单调递增，所以．

所以．