Question

【2017河北唐山三模】已知函数， .

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间有唯一零点，证明： .

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得， 分， ， ，三种情况讨论可得单调区间.

（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即且

所以，且，消去得，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.

试题解析：（Ⅰ） ， ，

令， ，

若，即，则，

当时， ， 单调递增，

若，即，则，仅当时，等号成立，

当时， ， 单调递增.

若，即，则有两个零点， ，

由， 得，

当时， ， ， 单调递增；

当时， ， ， 单调递减；

当时， ， ， 单调递增.

综上所述，

当时， 在上单调递增；

当时， 在和上单调递增，

在上单调递减.

（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.

此时， 就是函数在区间的唯一零点.

所以，从而有，

又因为，所以，

令，则，

设，则，

再由（1）知： ， ， 单调递减，

又因为， ，

所以，即