Question

已知圆，直线经过点A (1，0).

（1）若直线与圆C相切，求直线的方程；           

（2）若直线与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时直线的方程.

Answer

（1）或（2）y＝x－1或y＝7x－7

【解析】试题分析：（1）由直线与圆相切可得圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，设直线点斜式方程，列方程可得斜率，最后验证斜率不存在时是否满足条件（2）由垂径定理可得弦长PQ，而三角形的高为圆心到直线的距离d，所以，利用基本不等式求最值可得当d＝时，S取得最小值2，再根据点到直线距离公式求直线的斜率，即得的方程.

试题解析：（1）①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意．

②若直线斜率存在，设直线为，即.

由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，

即，解得，

所求直线方程为，或；

（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为，

则圆心到直线的距离，

又∵三角形面积

∴当d＝时，S取得最小值2，则， ，

故直线方程为y＝x－1，或y＝7x－7.

点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和