Question

如图1，在高为2的梯形中， ， ， ，过、分别作， ，垂足分别为、。已知，将梯形沿、同侧折起，得空间几何体，如图2。

（1）若，证明： ；

（2）若，证明： ；

（3）在（1），（2）的条件下，求三棱锥的体积。

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得，则，即为直角三角形；

(2)利用题意可得，结合线面平行的判断定理可得；

(3)利用题意可得AE为三棱锥的高，结合体积公式可得.

试题解析：

（1）证明：由已知得，四边形为正方形，且边长为2，则在图2中，

由已知， ，可得，

又，所以，

又， ，所以，

又，所以，即。

（2）证明：如图，取AC的中点G，连接OG，DG，则，

则四边形DEOG为平行四边形，所以，

又， ，所以。

（3）【解析】
因为三棱锥的体积，

而， ，所以。

即

故

点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．

(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．