Question

已知函数f(x)＝ax³－x²＋1(xR)，其中a＞0．

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)若在区间上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）y＝6x－9．（2）0＜a＜5．

【解析】试题分析：（1）利用导数求切线斜率即可；
（2）在区间上，恒成立恒成立，令，解得或，以下分两种情况，讨论，分类求出函数最大值即可.

试题解析：（1）当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f' (x)＝3x2－3x， f' (2)＝6．

所以曲线y＝f(x) 在点（2，f(2)）处的切线方程y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9．

（2）f' (x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，令f' (x)＝0，解得x＝0或x＝．

以下分两种情况讨论：

①若0＜a≤2，则≥，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：

x

（－，0）

0

（0，）

f' (x)

＋

0

－

f(x)

递增

极大值

递减

当x[－，]上，f(x)＞0等价于，即解不等式组得－5＜a＜5．因此0＜a≤2．

②若a＞2，则0＜＜，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：

X

（－，0）

0

（0，）

（，）

f' (x)

＋

0

－

0

＋

f'(x)

递增

极大值

递减

极小值

递增

当x[－，]上，f(x)＞0等价于，即解不等式组得＜a＜5，或a＜－．因此2＜a＜5． 综合①和②，可知a的取值范围为0＜a＜5．

点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数函数在某点处的切线方程即函数在某点处的导数即为函数在该点处的切线斜率；考查恒成立问题，除了上述方法外还可正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.