Question

已知函数

（Ⅰ）若 ，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意 都有恒成立，求实数 的取值范围；

（Ⅲ）设函数 ，求证：

      ．

Answer

（1）在上递增；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由于，导函数的零点不能直接求出，考虑二次求导，求出的最值，从而判断出函数的单调性；（2）由题意可知当时，，可通过讨论研究导函数的单调性和最值，得到的最小值，得到参数的取值范围；（3）由题意可得，可考虑证明两个和为的自变量对应的函数值的积为定值，通过整理并放缩可实现上述设想，最终得证.

试题解析：(1),令,则,

则当时,单调递减,当时,单调递增.

所以有,所以

(2)当时,,令,则,则单调递增,

当即时,,成立;

当时,存在,使,则减,则当时,,不合题意.综上

(3），

，

,……,．

由此得，

故（）

考点：利用导数研究函数的单调性和极值、最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值和最值以及放缩法证明不等式等问题，综合性较强属于难题.本题第（1）问导函数零点不能直接求出，应该通过二次求导判断出导函数的符号，从而确定出其单调性；第（2）问通过分类讨论确定出导函数的单调性求出其最值点，从而求出原函数满足当时，成立，这对否定起到启发诱导作用；第（3）问先通过结论中的左右两边的项数关系联想证明，应用放缩得到上面的结论，为最后的证明排除障碍.