Question

某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人。为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组： 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。

（I）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；

（II）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?

附表：

Answer

（Ⅰ）P=;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：(1)根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数,利用列举法计算基本事件数,求出对应的概率值;

(2)由频率分布直方图计算对应的数据,填写列联表,计算值,对照数表即可得出概率结论.

试题解析：（Ⅰ）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，

分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；

女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2； ………………2分

从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：

（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），

（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；

其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：

（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），

（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；

故所求的概率为P=．

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，

在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）； …7分

据此可得2×2列联表如下：

数学尖子生

非数学尖子生

合计

男生

15

45

60

女生

15

25

40

合计

30

70

100

（9分）

所以得 ；

因为1.79＜2.706，

所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”