Question

已知函数， ，其中

（1）若，讨论的单调区间；

（2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明： .

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析.

【解析】（Ⅰ）由已知得，

当时， ，；

当时， ．

故若， 在上单调递增，在上单调递减；

故若， 在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）不妨设，依题意， ，

同理

由①-②得， ，

，故只需证，

取，即只需证明成立．即只需证成立．

， 在区间上单调递增， 成立．

故原命题得证．